函数

函数的变换

对于函数 $y = f(x)$

$png$

其上任意一点 $\begin{array}{l} (x_0,f(x_0))\\ y_0 = f(x_0)\\ \end{array}$

首先对其做平移变换，将函数向左平移 $\pi\over2$ 个单位得到 $(x_0-\frac{\pi}{2},f(x_0))$

$png$

再对其进行伸缩变换，使此刻所有横坐标变为原来的2倍得到 $(2(x_0-\frac{\pi}{2}),f(x_0))$

$png$

再在竖直方向进行拉伸两倍得到 $(2(x_0-\frac{\pi}{2}),2f(x_0))$

$png$

最后得到关系式 $\begin{array}{l} x'=2x_0-\pi \\ y'=2y_0 \\ \end{array}$
其中 $y_0 = f(x_0)$

变换可得 $\begin{array}{l} x_0=\frac{1}{2}x'+\frac{\pi}{2}\\ y_0 = \frac{1}{2}y' \end{array}$

带入可得 $\frac{1}{2}y'=f(\frac{1}{2}x'+\frac{\pi}{2})$

容易知道对于任意的 $\begin{array}{l} (x',y')\\ y=2f(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{2}) \end{array}$

$png$

同理，对于 $y=f(x)$

先把横坐标拉伸2倍 $(2x_0,y_0)$

$png$

再右移3个单位 $(2x_0+3,y_0)$

$png$

再竖着拉伸 $\frac{1}{3}$ 倍 $(2x_0+3,\frac{1}{3}y_0)$

$png$

有对应关系 $\begin{array}{l} x'=2x_0+3\\ y'=\frac{1}{3}y_0 \end{array}$

代入有 $y' = \frac{1}{3}f(\frac{1}{2}(x'-3))$

$png$

实例详解

把 $y = f(\omega x+\phi)$ 向左平移m个单位

对于点 $(x_0,y_0)$ 有映射 $f:\omega x_0+\phi \longrightarrow y_0$

平移后的点为 $(x_0-m,y_0)$

记 $x_0-m=x_1$ 则有映射 $f:\omega(x_1+m)+\phi\longrightarrow y_0$

即对于变换后的点而言任意给出的x与y有关系式 $y=f(\omega (x+m)+\phi)$

直接有推论 $y=f(\omega x+\phi)=f(\omega (x+\frac{\phi}{\omega}))$ 可以由 $y=f(\omega x)$ 向左平移 $\frac{\phi}{\omega}$ 个单位得到

同理，把 $y = f(\omega x+\phi)$ 在水平方向拉伸k倍

拉伸后的点为 $(kx_0,y_0)$

记 $x_2 = kx_0$ 有 $f:\omega\frac{x_2}{k}+\phi\longrightarrow y_0$

平移后的函数即为 $y=f(\omega\frac{x_2}{k}+\phi)$

推论

在水平方向的伸缩不改变 $\phi$

水平方向的平移作用在 $\omega$ 的括号里

如何快速 $y=f(\omega_1 x+\phi_1)\longrightarrow y= f(\omega_2 x+\phi_2)$

根据推论首先改 $\omega$ 不改变 $\phi$

即在水平方向伸缩 $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ 倍得到 $\begin{array}{l}\omega_1 x_0=\omega_2 x_1\\x_1=\frac{\omega_1}{\omega_2}x_0\end{array}$

然后再水平平移，我不写了，你懂得

奇怪的题

锐角三角形ABC中，欲证 $sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C$

注意到 $A+B>\frac{\pi}{2}$

$png$

注意到 $\frac{\pi}{4}-A<B-\frac{\pi}{4}$

所以有 $sinA>cosB$ 得证

易错点

注意平凡情况

比如斜率为0啊，二次函数首项系数为0啊啥的，这一写，不就有分了？先写上再说

导数切线题注意看好，是在某点的切线，还是过某点的切线

概率题，把事件写上，要不然扣分！

咱们来看看一个简单的矩阵

$\begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

条件告诉你 $a_{ik}\ne a_{jk}$ 说的是啥意思呢

说的是同一列中的第i个和第j个不等！

有关向量的角度

注意到向量的角度从0取到 $\pi$ ，其中，0不是锐角， $\pi$ 不是钝角

圆锥曲线

二次曲线系

简单回顾

对于任意二次曲线 $\begin{array}{l}A_1x^2+B_1y^2+C_1xy+D_1x+E_1y+F_1=0\\A_2x^2+B_2y^2+C_2xy+D_2x+E_2y+F_2=0\end{array}$

过它们交点的二次曲线可以写成 $\mu(A_1x^2+B_1y^2+C_1xy+D_1x+E_1y+F_1)+\lambda(A_2x^2+B_2y^2+C_2xy+D_2x+E_2y+F_2)=0$

这时候，只要配配系数就可以解决问题了

比如圆的方程必没有xy项，且 $x^2$ 和 $y^2$ 系数相等

实例详解

椭圆 $Ax^2+By^2+F=0$

椭圆外一点E在定直线x=C上运动，与左顶点A与右顶点B连直线交椭圆于四个点ACBD

证明AB与CD交点为定点

只需设出 $l_{EA}$ 和 $l_{EB}$ 的方程并乘在一块再与椭圆方程构建二次曲线系

就可以得到一定过ABCD四个点的二次曲线

随后，把 $l_{AB}$ 和 $l_{CD}$ 的直线根据CD过定点设出来，调参数即可

中点弦

中点弦是指，这有一个点，过这个点的直线与二次曲线恰好交于两点，这个点是中点，那么这条直线就能确定了

对于任意二次曲线 $Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0$

设 $(x_0,y_0)$ 为那个中点

则有另外两个被分成两段的点 $(x_1,y_1),(2x_0-x_1,2y_0-y_1)$

立刻有方程 $\begin{array}{l} Ax_1^2+By_1^2+Cx_1y_1+Dx_1+Ey_1+F=0 \qquad(1)\\ A(2x_0-x_1)^2+B(2y_0-y_1)^2+C(2x_0-x_1)(2y_0-y_1)+D(2x_0-x_1)+E(2y_0-y_1)+F=0 \qquad(2) \end{array}$

(2)-(1)得到 $A(4x_0^2-4x_0x_1)+B(4y_0^2-4y_0y_1)+C(4x_0y_0-2(x_0y_1+y_0x_1))+D(2x_0-2x_1)+E(2y_0-2y_1)=0$

化简得到 $(2Ax_0+Cy_0+D)(x_1-x_0)+(2By_0+Cx_0+E)(y_1-y_0)=0$

看得到 $(2Ax_0+Cy_0+D,2By_0+Cx_0+E)$ 是该直线的法向量

所以中点弦即为 $(2Ax_0+Cy_0+D)(x-x_0)+(2By_0+Cx_0+E)(y-y_0)=0$

或者这个形式 $(2Ax_0+Cy_0+D)x+(2By_0+Cx_0+E)y=(2Ax_0+Cy_0+D)x_0+(2By_0+Cx_0+E)y_0$

注意到 $(x_0,y_0)$ 关于该曲线的极线为 $Ax_0x+By_0y+C\frac{x_0y+y_0x}{2}+D\frac{x_0+x}{2}+E\frac{y_0+y}{2}+F=0$

或者换一种写法 $(2Ax_0+Cy_0+D)x+(2By_0+Cx_0+E)y=-2F$ 形式相近，方便记忆

结论

求中点弦只要把这个点的极线写出来，左边只放x和y，在右边放x和y对应前面的系数和 $x_0,y_0$

举例，椭圆 $Ax^2+By^2+F=0$ 的中点弦是 $Ax_0x+By_0y=Ax_0^2+By_0^2$

$1.jpg$

集合

简单的定义 $\forall a \in A, \exists b=a \in B \Rightarrow A \subseteq B$

简单的应用 $if\quad \forall x_1\in D_1, f(x_1)\in A,\exists x_2\in D_2 ,g(x_2)\in B \Rightarrow A\subseteq B$

其中，A和B分别为 $x\in D_1$ 时 $f(x_1)$ 的值域和 $x\in D_2$ 时 $g(x_2)$ 的值域

小技巧

代数

见到形如 $xy+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$ 的式子该怎么处理呢？

①可以两边乘以xy然后当作x的二次函数来解

②可以利用 $(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$ 这个结论

③换元 $\left\{\begin{matrix} xy=a \\ \frac{1}{x}=b \\ \frac{1}{y}=c \end{matrix}\right.$

有 $\left\{\begin{matrix} a+b+c=1 \\ abc=1 \end{matrix}\right.$

椭圆小题，只告诉焦点和切线可以想

光学性质
$|F_1P||F_2P|=b^2$ （辅助圆）
推论是可以通过辅助圆和切线比较准确的找焦点

数论

对于偶数来说，可以表示为 $2^n$ 以及 $2^m\cdot c$ 其中 $c=2k+1\quad k\in\mathbb{N^+}$

对于 $(i+j)(i-j)\quad (i,j\in \mathbb{N^+})$

可以表示除了1，2之外的所有自然数

而对于 $(i+j)(i-j+1)\quad (i,j\in \mathbb{N^+})$

来说，可以表示除了2的幂之外的所有偶数

给定一个不是2的幂的偶数，必然能写成 $2^m\cdot c \quad\text{where}\quad c=2k+1\quad k\in \mathbb{N^+}$

则只需令 $\begin{array}{l} i+j=2^m\\ i-j+1=c=2k+1 \end{array}$

就能解出一组(i,j)

导数题

对于任意一道导数题，先观察一下函数是否过某定点，与参数无关的，可以尝试验证 $\pm 1$ , $\pm 2$ , $\pm e$ ，很可能后面要用到。该技巧适用于一切函数题。

算两条曲线的交点时需要注意，除了 $2.png$

还有 $3.png$

不过其实我们发现算两条曲线是麻烦的，我们最好转化成一条直线和一条曲线

裂项

对于 $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$ 这样的整式，可以 $n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=\frac{1}{6}[n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)-(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]$

最后一题

要抽象思考，比如说，你要求的东西只跟集合的基数有关（cardinality），那就没必要关注具体的细节，直接计算card就行
注意 奇偶分析 会是极其有用的手段。有的时候可以直接用奇数和偶数来代替你要写的具体的项(mod2)，举个例子 $|a_{n+1}-a_n|=1$ ，且 $a_1=0$ ，你发现，写出每一项是不好写的，但是写奇偶是没问题的，奇数项为1，偶数项为0，这样的手段往往可以帮你快速判断或证明一个命题为假
有时候一定要想想，我正在求的东西我真的在乎吗？我真的在乎里面具体每一个数吗？我大概是不在乎的，抽象点！
一个n元集合 $A=\{a_1.....a_n\}$ 的所有子集可以用一个n位的2进制数表示，或者，n维向量进行表示，用1和0来代表选或没选该元素，好处是 可以用0来湮灭我所不需要的东西 。比如我告诉你A的不同的两个子集的交集的card是个偶数，就可以变成， $\vec{B_i}\cdot\vec{B_j}=2n\quad n\in \mathbb{N^+}$ ，这样我就又可以通过点乘来奇偶分析了！
见到新定义的运算，立马去想基本运算律，比如0元，逆元，单位元。结合律，交换律，分配律
当你发现要处理有关无理数的数论问题时，基本上就是思路错了，仔细揣摩条件，寻找矛盾，比如条件给你一个公比大于2的等比数列，你就证它公比大于2是有问题的。